Extra Matematik Bilgileri etiketine sahip yazılar gösteriliyor. Tüm yazıları göster
Extra Matematik Bilgileri etiketine sahip yazılar gösteriliyor. Tüm yazıları göster

05 Ocak 2008 Cumartesi

Doğadaki altıgen: Kar kristalleri (Snowflakes)

Kar yağdığı zaman hepimiz ne kadarda seviniriz. Karın beyazlığı insanın gözlerini kamaştırır.

Kar üzerine gelen ışığın hemen hepsini yansıttığından beyaz görünür. Karın belkide bilmediğiniz bir özelliği daha vardır oda kar kristallarinin Altıgen şekli.
Kar kristalleri neden altıgendir ? Konunun uzmanlarına göre bir kristalin şeklini belirleyen temel özellik bu altıgen su moleküllerinin tıpkı bir zincirin halkaları gibi birbirlerine kenetlenmesidir. Altıgen olmasının yanında, kar kristallerinin hiç birinin, birbirine tam anlamıyla benzememesi en önemli özelliğidir. İnsanı hayretler için bırakan bu durum üzerine, Amerikalı bilim adamı Wilson Bentley ilk araştırmalarda bulunmuş ve incelediği 6000 kar kristalinin, hiç birinin birbirine tam anlamıyla benzemediğini görmüştür. Daha sonra yapılan araştırmalarda da aynı şekilde , aynı büyüklükte ve aynı miktarda su molekülü ihtiva eden, kar kristaline rastlanamamıştır.
Kar kristalleri için denirki havadayken hiç bir kar kristali bir birine değmez bu gerçektende böyledir. Çapı 2-4 mm olan karkristallerinin ağırlığı 0,005 gr dır. Hava akımına karşı dirençli olduklarından yavaş yavaş yere doğru inerler. Bu iniş sırasında kristaller birbirini ittiğinden yapışmaz ve özelliklerini koruyarak yer yüzüne düşerler. (Yanlız kristaller yeryüzüne yaklaştıkça rüzgarında etkisiyle birbirine geçebilirler. Bu durumda lapa lapa dediğimiz yağışa dönüşürler. ) Kar yağışı -4 ile -20 derece sıcaklıklarında gerçekleşir. Kristallerin şekli ve büyüklüğü havanın sıcaklığına ve nemine bağlı olarak değişir.
Kendinize sanal ortamda bir kar kristali yapmak istemisiniz ? (Tıkla)
(Yukarıda Verdiğim linkte bir flash animasyon var bir parça kağıdı mouse ile kesiyor ve kendinize bir kar kristali yapabiliyorsunuz. Hatta kendi kristalinizin resmini kaydedebilirsiniz.)
Hareketli sanal kar kristali yapmak için (tıkla.)

Topolojik halkalar

Yukarıda Görmüş olduğunuz halkalardan hangi ikisi birbirine bağlı ?
Bir halka çıkarılırsa ne olur ?
Üç halkanın birbiri ile bağlantısı nedir ?

Topoloji nedir?
Topoloji, Yunanca'da yüzey veya uzay anlamına gelen topos ve bilim anlamına gelen logos kelimelerinden türetilmiştir. Dolayısıyla, topoloji, uzaylar veya yüzeyler bilimidir.
Topolojide amaç, nesneleri yırtmadan ve koparmadan, eğip bükerek bir başka nesneye dönüştürebilmektir. Bunun için de "homeomorfizma" adındaki denklik bağıntısı tanımlanmıştır;
Homeomorfizmaya örnek olarak, bir üçgenin bir çembere ya da bir çay bardağının, çay tabağına dönüşümünü alabiliriz. Bunu geometrik olarak görmek çok kolaydır. Gerçekten çay bardağı ya da tabağından birinin kauçuktan yapıldığını düşünürsek, o cismi yırtmadan, kesip koparmadan sadece çekip uzatarak ve eğip bükerek diğer cisme dönüştürebileceğimizi görürüz. Benzer şekilde kulplu bardak ve simidin birbirlerine aynı yöntemle dönüştürülebileceğini de görebiliriz.
Topoloji n boyutlu uzay bilimidir.n boyutlu uzaylarda yuvarlarla uğraşır.n boyutta uzyın her elemanın komşulukları ve bu komşuluklarla noktanın cebirsel özelliklerini irdeler
Kaynak: http://tr.wikipedia.org/wiki/Topoloji

21 Aralık 2007 Cuma

Pratik hesaplama yöntemleri.

10 ile çarpma: E bunu bilmeyen yoktur. Tabiki 10 ile çarpılan sayının sonuna bir sıfır ilave edilir. Eğer sayı virgüllüyse virgül sağa doğru kaydırılır. [15x10=150](10 un katları içinde aynı kural geçerlidir.)
5 ile çarpma: Çarpılacak sayının yarısı alınır ve sağına bir sıfır konulur. Sayı tek ise yarısı virgüllü olacaktır bu durumda virgül bir basamak sağa kaydırılır. (14x5=70)
25 ile çarpma: Sayının dörtte biri ve sağına iki sıfır ilave edilir. Virgüllü sonuç varsa iki virgül kaydırılır.(28x25=700)
50 ile çarpma: 5 ile çarpma ile aynıdır. Farkı sayının yarısı alındıktan sonra sonuna iki sıfır eklenir.(14x50=700)
15 ile çarpma: Sayının kendisi ve yarısı toplanır sonuna bir sıfır ilave edilir.(60x15=900)
11 ile çarpma: Eğer onbir ile çarpacağınız sayı iki basamaklıysa sayının biler ve onlar basamağı toplanır sayının ortasına yazılır.(27x11, 2+7=9, 27x11=297) Eğer toplam 10 ve daha büyük sayı ise elde onlar basamağına aktarılır.(38x11 , 3+8=11, 38x11=418)
9 ile çarpma: Sayı 10 ile çarpılır ve kendisi çıkartılır.
5 ile bölme: Sayının iki katı alınır ve bir sıfır eksiltilir. Sayının sonunda sıır yoksa bir virgül sola kaydırılır.(25:5=5, 32:5=6,4)
25 ile bölme: Sayının dört katı alınır ve iki sıfır çıkarılır.(120:25=4,8)

Sayıların gizemi.

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10 = 1111111111

9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888

1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111=123456787654321
111111111x111111111=12345678987654321

Bunun gibi enteresan işlemlerle karşılaştıysanız yorum kısmına bırakın.

20 Aralık 2007 Perşembe

Bir tam açı neden 360 derecedir?


Sümer ve Akad larda astronomiye çok önem verilmiştir ki dinsel inanışları bunu gerektiriyordu. İnanışlarına göre yıldızlar ve gezegenlerin gökyüzündeki düzenlerinde, sıralanışlarında insanların iyiliğine yada kötüğüne yönelik bir takım işaretlerin saklı olduğuna bu işaretlerinde tanrılar tarafından gökyüzüne gizlendiğine inanıyorlardı. Bu sebepten gökyüzünü günlere göre belli aralıklara böldüler. 1 yılı 360 gün olarak tespit etmişler ve 30 gişlik (günlük) 12 aya bölmüşlerdir ve bu takvimi gökyüzüne uygulayarak 360 derecelik daireyi bulmuşlardır.
Bizlerde o zamandan bu zamana 360 derecelik açısal ölçüyü kullanmaya devam ediyoruz. 360 derecelik açı ölçüsünün en önemli avantajı 360 sayısının çok sayıda böleni olmasıdır. Bu sayede hesaplamalarda bizlere kolaylık sağlıyor.

13 Aralık 2007 Perşembe

Platonik cisimler (Düzgün katı cisimler),(Platonic Solids)

Yüzeyleri düzgün çokgenler olan, yüzeyleri, köşeleri ve ayrıtları aynı, üç boyutlu cisimlere düzgün çokyüzlüler denir.


Eski Yunan filozofu Platon'a gore evren "esir", toprak, hava, ateş ile su'dan oluşan beş temel ögeden oluşur. Yine Platon'a gore bu 5 ögenin her biri birer eşkenar çokyüzlü olan atomlardan oluşmuştur. Bundan dolayi eşkenar çokyüzlülere platon cisimleri adi verilir. Matematiksel olarak toplam 5 ceşit çokyüzlü vardir:

  1. Tetrahedron (4 yüzlü),
  2. Hexahedron (Küp, veya 6 yüzlü),
  3. Octahedron (8 yüzlü),
  4. Dodecahedron (12 yüzlü),
  5. Icosahedron (20 yüzlü).

Bu çokyüzlülerin nasil göründüğünü yukarıdaki şekillerde görebilirsiniz.
Günümüzde artık atomun ne olduğu anlaşıldığından Platon’un bu görüşü olduğu gibi geçerli değildir. Ama ilginçtir ki atomlar kristal oluştururken aynen Plato'nun tanımladığı çokyüzlü üniteler seklinde dizilmektedir. Bu da Platon'un tamamen yanlış bir çıkarsamada bulunmadığını gösteriyor.Bu saydığımız şekillerin, biri hariç, atomlar tarafından oluşturulduğu uzun suredir biliniyordu, ama 4. sıradaki dodecahedronun yani onikiyüzlünün doğadaki varlığı şimdiye kadar henüz gösterilememişti. Nature dergisinin Şubat 2006 sayısına göre bu onikiyüzlünün de atomlar tarafından kristal oluşumunda kullanıldığı geçenlerde ispatlandı. Natura dergisine göre, bu onikiyuzlu kristal dizilimini Meksika'daki San Louis Patosi Teknoloji Araştırma Enstitüsünden Josa Luis Rodriguez-Lopez ile Austin'deki Texas Üniversitesinden Miguel Jose Yacaman, altın-paladyum atomlarının her biri 2 nanometre uzunluğundaki kenarlardan oluşan kristal yapısında göstermişlerdir. Böylece bu arastırıcılar Platon cisimlerinin hepsini doğanın temel yapısında kullanıldığı görüşünü tamamlamış oldular. Platon, ideal çokyüzlüler düşüncesini bir matematikçiden almış ve kendisinin geliştirdiği 5 doğal element felsefesine uyarlamıştır. Her ne kadar bu sentezden vardığı cıkarım doğru değilse de, Platon evrende var olan önemli bir gerçeği önceden akıl yoluyla tahmin ederek doğru akıl yürütmenin önemini göstermiştir.

12 Aralık 2007 Çarşamba

Daha daha daha büyük sayılar nasıl adlandırılır?

10^0. Bir (1)
10^3. Bin (1.000)
10^6. Milyon (1.000.000)
10^9. Milyar (1.000.000.000)
10^12. Trilyon (1.000.000.000.000)
10^15. Katrilyon
10^18. Kentilyon
10^21 Seksilyon
10^24. Septilyon
10^27. Oktilyon
10^30. Nonilyon
10^33. Desilyon
10^36 . Undesilyon
10^39 . Dodesilyon
10^42 . Tredesilyon
10^45 . Kattuordesilyon
10^48 . Kendesilyon
10^51 . Sexdesilyon
10^54 . Septendesilyon
10^57 . Oktodesilyon
10^60 . Novemdesilyon
10^63 . Vigintilyon
10^66 . Unvigintilyon
10^69 . Dovigintilyon
10^72 . Trevigintilyon
10^75 . Kattuorvigintilyon
10^78 . Kenvigintilyon
10^81 . Sexvigintilyon
10^84 . Septenvigintilyon
10^87 . Oktovigintilyon
10^90 . Novemvigintilyon
10^93 . Trigintilyon
10^96 . Untrigintilyon
10^99 . Dotrigintilyon
10^102 . Tretrigintilyon
10^105 . Kattuortrigintilyon
10^108 . Kentrigintilyon
10^111 . Sextrigintilyon
10^114 . Septentrigintilyon
10^117 . Oktotrigintilyon
10^120 . Novemtrigintilyon
10^123 . Katragintilyon
10^126 . Unkatragintilyon
10^129 . Dokatragintilyon
10^132. Trekatragintilyon
10^135. Kattuorkatragintilyon
10^138. Kenkatragintilyon
10^141. Sexkatragintilyon
10^144. Septenkatragintilyon
10^147. Oktokatragintilyon
10^150. Novemkatragintilyon
10^153. Kenquagintilyon
10^156. Unkenquagintilyon
10^159. Dokenquagintilyon
10^162. Trekenquagintilyon
10^165. Kattuorkenquagintilyon
10^168. Kenkenquagintilyon

Not: 10^3 on üzeri 3 demektir.

08 Aralık 2007 Cumartesi

Sıfır neden çift sayı kabul edilir?


Sıfırınneden çift olduğuna geçmeden önce tek ve çift sayı kavramı üzerinde durmamız gerekiyor. Matematikte kavramlar söz konusu olduğunda tahmin edebileceğinizden daha fazla farklı fikirle karşılaşırsınız. Ancak bu tek ve çift sayı konusunda matematikçilerin büyük bir kesiminin ortak bir kararı olduğunu görebiliriz. Tanım şu şekilde yapılmıştır: İki ile bölündüğünde sıfır kalanını veren sayılara çift sayılar, bir kalanını veren sayılara da tek sayılar denir. Bu tanıma göre iki ile bölündüğünde sıfır kalanını veren sıfır sayısı bir çift sayıdır.

Mantıksal-Matematiksel zeka nedir?

Bu tür zekaya sahip olan insanlar, mantık kurallarına ve benzerliklerine, neden-sonuç ilişkilerine ve bunlara benzer soyut işlemlere karşı çok hassas ve duyarlıdırlar. Bu kişiler kategorilere veya sınıflara ayırarak, genelleme yaparak, hesaplayarak, mantık yürüterek ve soyut ilişkiler üzerinde çalışarak iyi şekilde öğrenirler.
Mantıksal – matematiksel zekası kuvvetli bir öğrenci ;

  1. Olayların oluşumu ve işleyişi hakkında çok soru sorar.
  2. Soyut ve kavramsal düşünebilir.
  3. Bilgiler arasında bağlantılar kurar.
  4. Güçlü bir muhakemesi vardır.
  5. Satranç ve briç gibi oyunları oynamaktan zevk alır.
  6. Matematiksel problemleri kafasında kolayca ve çabucak çözer.
  7. Matematik dersini sever.8- Matematiksel hesaplama oyunlarını ilginç bulur.
  8. Mantıksal bulmacaları çözmeyi ve satranç veya dama gibi stratejikoyunları oynamayı sever.
  9. Olayları ve nesneleri kategorilere ayırmayı veya onları hiyerarşik olarakdüzenlemeyi sever.
  10. Yüksek düzeyde bilişsel düşünme becerisi içeren deneylere katılmayısever.
  11. Yaşıtlarına kıyasla soyut düşünebilme ve sebep-sonuç ilişkisi kurabilmekabiliyetleri çok iyi gelişmiştir.

28 Kasım 2007 Çarşamba

Asal sayılar (Prime Number)

Kendisinden ve 1’den başka pozitif böleni olmayan, 1’den büyük pozitif tam sayılara “asal sayılar” denir. (2, 3, 5, 7, 11...) Tanımdan da anlaşılacağı gibi; ‘0’ ve ‘1’ asal sayılar olarak kabul edilmemektedir. Çünkü, ‘0’ sayısı hem kendisine bölünemez hem de bölen sayısı ikiden fazladır. ‘1’ sayısı ise, ‘1’ den başka böleni olmadığı için asal sayı olarak kabul edilemez. İlginç bir özellikleri ise, sayılar içerisinde düzensiz bir şekilde dağılmalarıdır. Belli bir dizilişleri yoktur.

Öklid (Euklides)'ten beri asal sayılar sonsuz olduğu bilinmektedir, fakat asal sayılar hakkında pek çok başka soru hala daha cevapsızdır. Bunlardan en ünlü ikisi aralarındaki fark iki olan asal sayılar (örneğin 11 ve 13, veya 29 ve 31) hakkındaki ikiz asallar konjektürü ve asal sayıların doğal sayılar içersindeki dağılımı hakkındaki Riemann Hipotezidir. Sayılar teorisi'nin en önemli uğraşı asal sayılar hakkındaki bu tür sorulardır. Asal sayılar ayrıca kriptografi alanının da yapı taşlarıdır.
Asal sayılarla ilk olarak ilgilenenlerden biri Eratosthenes (M.Ö. 300) tir. Eratosthenes, erato kalburu adıyla anılan bir asal sayı bulma yöntemi geliştirmiştir.
Yöntem şöyledir (Şekle bakın)10x10 luk karelerin bulunduğu tabloya 1 den 100 e kadar olan sayılar yerleştirilir. Daha sonra 2 dışında 2 nin katı olan sayılar işaretlenir ki bu sayıların asal olma şansları kalmamıştır, keza kendilerinden başka bir de 2 ye bölünmektedirler. İşaretlenmemiş sayılardan sırada 3 vardır, 3 dışında 3 ün katları işaretlenir ki bunlarda asal değildirler. Sonra beşin katları işaretlenir…. bu şekilde devam edildiğinde geriye asal sayılar kalır. Şekilde beyaz kalan yerlerdeki sayılar -Asal- sayılardır.
300 basamaklı bir asal sayı:
203956878356401977405765866929034577280193993314348263094772646453283062722701277632936616063144088173312372882677123879538709400158306567338328279154499698366071906766440037074217117805690872792848149112022286332144876183376326512083574821647933992961249 917319836219304274280243803104015000563790123
Sayfamın sağ tarafında Asal sayı test etme bölümü var. Herhangi bir sayıyı yazıp Asal olup olmadığını kontrol edebilirsiniz.
Kaynak:
2.Bilgi dağarcığım.
3.Resim; kendi çizimim.

21 Kasım 2007 Çarşamba

Pascal Üçgeni (Pascal Triangle)

Pascal üçgenindeki sayılar kendi üstündeki sayıların toplanarak yazılmasıyla elde edilir. Bu arada her satırın başına ve sonuna 1 yazılır.
Hakkında:
Pascal üçgeni olarak bilinen, bu üçgen ile ilgili Pascal’ dan öncede çalışmalar yapılmıştır. Çinli bilim adamlarından Pingala, Müslüman bilim adamlarından Ömer Hayyam gibi bir çok bilgin bu üçgen üzerinde incelemeler yapmıştır. Blaise Pascal ise kendinden önceki çalışmaları toplayıp farklı alanlarda ki uygulamalarını keşfetmiştir. Uygulama alanları içinde Olasılık, Alt küme hesabı, İki terimli bir harfli ifadenin kuvvetlerinin hesabı gibi farklı kullanım alanları vardır.
Bazılarını inceleyelim;
Altküme sayısı hesaplarken Pascal üçgenini kullanabilirsiniz.
B={a,b,c,d} B kümesi 4 elemanlıdır. [s(B)=4] Bu kümenin alt kümeleri Pascal üçgeninin 1..4..6..4..1 dizilişinde gizlidir.
Şöyle ki; B kümesinin
0 Elemanlı alt kümelerinin sayısı: 1 dir.
1 Elemanlı alt kümelerinin sayısı: 4 dür.
2 Elemanlı alt kümelerinin sayısı: 6 dır.
3 Elemanlı alt kümelerinin sayısı: 4 dür.
4 Elemanlı alt kümelerinin sayısı: 1 dir.

İki terimli bir harfli ifadenin kuvvetlerinin açılımındaki kat sayılar Pascal üçgeninde gizlidir.
Örneğin:

Bunun dışında faklı birkaç bilgi verelim.
Pembe çizgi üzerindeki sayılar 0 hariç doğal sayılardır.
Mavi çizgi üzerindeki sayılar Üçgen sayılardır. (Çokgensel sayılara bakın)
Aynı yöndeki sayıların toplamı(yeşil çizgileri takip edin), seçtiğimiz son sayının ters yönündeki sayıya eşittir. (Örnek: 1+2+3+4+5+6+7=28, 1+4+10+20+35=70 gibi)
Pascal üçgenindeki her satırın toplamı 2 nin kuvvetlerini verir.

Derlediğim bu yazıyı kopyalamayı düşünüyorsanız link verebilirsiniz.

14 Kasım 2007 Çarşamba

Moeibus band: Möbius şeridi

Geometrik olarak, uzunca bir şeridin bir ucunu 180 derece büküp diğer ucu ile birleştirirsek elde edilen şeride Möbius şeridi denir. İlk olarak 1861'de Johann Benedict Listing tarafından tanımlanmıştır, dört yıl sonra ise Möbius yayınladığı bir çalışmasında tanımını vermiş, şeridin tek yüzlü olduğunu, yönlendirilememesi ile açıklamıştır.



Normal bir şeridin 2 yüzü vardır ancak möbius şeridinin 1 yüzü vardır. Yani möbius şeridininin üzerindeki bir noktadan hareket etmeye başladığınızda tekrar aynı noktaya geri dönersiniz. Resimdeki karıncaları takip edin göreceğiniz şey karıncalar şeridin tüm yüzeyinde yürüyebildikleridir.

Möbius şeridinin ilginç bir özelliğini söyleyelim. Uzunca dikdörtgen bir kağıt parçası kesin, bir ucunu 180 derece çevirip diğer ucuna yapıştırın, işte size bir möbius şeridi. Şimdi elde ettiğimiz möbius şeridini tam ortadan düzgün bir şekilde kesin, sizce kaç tane şerit oluşur ?

12 Kasım 2007 Pazartesi

Çokgensel sayılar


Çokgensel sayılar: Bir çokgenin köşelerini baz alarak elde ettiğimiz sayı dizelerinden oluşur.
Yukarıdaki şekilde görülen çokgensel sayıları inceleyelim.
Üçgen sayılar 1, 3, 6, 10, 15, 21,... şeklinde devam eden sayılar dır.
Kare sayılar 1, 4, 9, 16, 25,... (Kare alma işlemiyle de aynı sonuca ulaşabilinir.)
Beşgen sayılar 1, 5, 12, 22, 35, …

Bu sayı örüntülerinin genel ifadelerini verelim.
Üçgen, kare, beşgen, altıgen, yedigen ve sekizgen sayılar hep çokgensel sayılardır ve alttaki formüllerle bulunabilirler:

Üçgen P3,n= n(n+1)/2 ..........1, 3, 6, 10, 15, …
Kare P4,n= (n üzeri 2) ...........1, 4, 9, 16, 25, …
Beşgen P5,n= n(3n-1)/2 .......1, 5, 12, 22, 35, …
Altıgen P6,n= n(2n-1) ...........1, 6, 15, 28, 45, …
Yedigen P7,n= n(5n-3)/2 .....1 , 7, 18, 34, 55, …
Sekizgen P8,n= n(3n-2) .......1, 8, 21, 40, 65, …

09 Kasım 2007 Cuma

Mükemmel Sayılar

Mükemmel sayılar.


Kendisi dışındaki bütün pozitif bölenleri (çarpanları) toplamı sayının kendisine eşit olan sayılara, mükemmel sayılar denir.




Bunlardan en bilineni 6 dır.

Bakalım 6 mükemmel bir sayımı. 6 yı tam bölen sayılar 1, 2 ve 3 tür. Bölenlerin toplamı

1+2+3=6 görüldüğü üzere 6 Mükemmel sayı kuralına uyuyor.

28 de bir mükemmel sayıdır. 28 in tüm bölenleri 1,2,4,7,14 tür toplamları 1+2+4+7+14=28 dir.
Görüldüğü üzere 28 de bir mükemmel sayıdır.
Mükemmel sayı bulmak için genel bir formül yoktur ancak yukarıda verilen formülle elde edilen sayılar birer mükemmel sayıdır. Formülden anlaşılacağı üzere, formülü kullanarak elde edeceğiniz mükemmel sayılar çifttir. Bu arada şunuda söyleyelim bilinen mükemmel sayılar içinde tek sayı olanları yoktur.


06 Kasım 2007 Salı

Çok büyük sayılar nasıl adlandırılır?

Büyük sayıların adlandırılması:
Kullandığımız büyük sayılar milyon, milyar en fazla katrilyondu peki ya sonra ne geliyor? merak ediyorsanız aşağıya bakın.

Bir milyon
1.000.000
Bir milyar
1.000.000.000

Bir trilyon
1.000.000.000.000

Bir katrilyon
1.000.000.000.000.000

Bir kentilyon
1.000.000.000.000.000.000

Bir seksilyon
1.000.000.000.000.000.000.000

Bir septilyon
1.000.000.000.000.000.000.000.000

Bir oktilyon
1.000.000.000.000.000.000.000.000.000

Bir nobilyon
1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000

Bir desilyon
1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000

01 Kasım 2007 Perşembe

Atatürk ve Matematik

Atatürk' ün önder olma kişiliğinin yanında matematikçi kişiliğini biliyormuydunuz.
Evet aynen öyle Atatürk kendisi bizzat Fansızca bir matematik kitabını Türkçe' ye çevirmiştir.

Dil devrimiyle birlikte dili Osmanlıca' dan öz Türkçe'ye dönen bir toplumun eski dildeki geometri terimlerini anlayabilmelerine olanak yoktur. Bu eksikliğin farkında olan Atatürk, yaverinden Avrupa kaynaklı bir geometri kitabı istetir. Kendisine getirilen Fransızca geometri kitabını Türkçeye çevirmiş ve matematik eğitiminin gelişimine bizzat kendisi katkıda bulunmuştur. Terimlerin bir çoğunun karşılığını kendisi geliştirmiştir.
Eski dildeki geometri ve matematik terimlerinin bazılarının yeni dildeki karşılıkları şunlardır:
Bölen - Maksumunaleyh
Bölme - Taksim
Bölüm - Haric-i Kısmet
Çarpanlara Ayırma - Mazrubata Tefrik
Çember - Muhit-i Daire
Çıkarma - Tarh
Dikey - Amudi
Limit - Gaye
Ondalık - Aşar'i
Parabol - Kat'ı Mükafti
Piramit - Ehram
Prizma - Menşur
Sadeleştirme - İhtisar
Teğet - Hatt-ı Mümas

Birde şu cümleye bakalım:
"Müsellesin sathı yatalay, dikeley zarbının müsavatına müsavidir." Bu cümlenin günümüz dili ile karşılığı. "Üçgenin alanı, tabanı ile yüksekliğinin çarpımının yarısına eşittir." görüldüğü üzere eski dildeki terimleri anlamak kullandığımız dil ile mümkün değildir.
Atatürk' ün yeni yetişecek neslin kendi diliyle anlayacağı bir matematik eğitimi için yaptığı katkıyı iyi anlamak gerekiyor.

Not: Bu yazıdan Arap dilinin bilim yapmak için kullanışlı olmadığı sonucunu çıkarmamalısınız. Hatırlanacağı üzere, bir çok Türk İslam matematikçisi ve bilim adamının kullandığı dil ve bu insanların yazdığı bir çok eser Arapçaydı. Bu eserlerin bir kısmı Avrupa ve Amerikan kütüphanelerinde bulunmaktadır. Ayrıca eserler araştırma ve tezlere de konu olmuştur.

25 Ekim 2007 Perşembe

Neden Matematik Öğreniyoruz ?

Matematik uygarlığın aracıdır. Matematik çok yönlü bir bilimdir. Yayılma alanının ve derinliğinin sınırı yoktur. Bilim ve teknolojide olduğu kadar günlük yaşamda da vazgeçilmezdir. Çağlardan çağlara taşınan, ulusal sınır tanımayan, etkili, sağlam ve evrensel bir kültürdür. İnsanoğlu varoluşundan beri korkuyla, şüpheyle ve merakla içinde yaşadığı evreni tanımaya, doğa olaylarını açıklamaya ve doğaya egemen olmaya uğraşmaktadır. Gizlerini bilmediği için doğa olaylarını, yüzbinlerce yıl boyunca, korkuyla gözleyen insanoğlu, doğaya egemen olmak zorunda olduğunu kavradıktan sonra onunla amansız bir mücadeleye girmiştir. Bu mücadelede onun en hünerli aracı matematiktir.
Tarih öncesi zamanlardan beri insanoğluna doğa üstü görünen pek çok olayın bilimsel açıklaması matematik ile yapılabilmiştir, evrenin mükemmel düzeni matematik ile ortaya konulmuştur. Örneğin, gök cisimlerinin hareketi, insanoğlunun daima merak ettiği hatta korktuğu olgulardandı. Şimdi Ay'ın ve Güneş'in tutulmasından korkmuyoruz; hatta tutulmaların ne zaman ve nerede olacağını çok önceden hesaplayabiliyoruz. Gök gürlemesinden, yağmurdan, selden korkmuyor; barajlar kuruyor, evlere, fabrikalara enerji akıtıyoruz. Dünyada ve hatta gezegenler arasında etkin bir haberleşme ağı yaratıyor, üstün bir iletişim ortamı kuruyoruz. Temeli matematiğe dayanan Elektrik ve Magnetizma Kuramı olmasa günümüzün enerji ve iletişim sistemleri çalışmazdı; yani radyolarımız çalışmaz, televizyonlarımız göstermez; barajlarımız elektrik üretmezdi. Işığın nasıl yayıldığını kolayca açıklıyoruz. Işığı yalnız aydınlatmada kullanmıyoruz; örneğin, x ışınlarını, lazer ışınlarını insanlığın sağlığı, refahı ve mutluluğu için kullanabiliyoruz. Süper bilgisayarlar üretiyor ve binlerce kişinin binlerce yılda bitiremiyeceği işlemleri saniyelerde yapıyoruz. Romantizmin başlıca kaynağı olan Ay'a ayak basıyoruz... Bütün bunları matematikle yapıyoruz. Matematiğin uygulanmadığı hiçbir teknik alan yoktur... Matematik yalnızca çağdaş bilim ve tekniğin temel aracı değildir... Tıp, sosyal, siyasal, ekonomi, işletme, yönetim v.b. bilimler de matematiksel yöntemlere dayanmak zorundadır. Kısaca matematik, insan aklının yarattığı en büyük ortak değerdir. Evrenselliği onun gücüdür. Çağları aşarak bize ulaşmıştır, çağları aşarak yeni kuşaklara ulaşacaktır. Büyüyerek, gelişerek, insanlığa hizmet edecek; her zaman taze ve doğru kalacaktır. Bu nedenle, matematik öğretimi bütün dünya ülkelerinde özel bir önem ve önceliğe sahiptir.

Altın Oran

Altın orana ilişkin matematik bilgisi ilk kez İ.Ö. 3. Yüzyılda Öklid’in Stoikheia ("Öğeler") adlı yapıtında "aşıt ve ortalama oran" adıyla kayda geçirilmiştir. Eldeki veriler,bu bilginin geçmişinin aslında Eski Mısır’da İ.Ö. 3000 yılına kadar dayandığını göstermektedir. Grek dünyasına da Pythagoras ve Pythagoras’cular tarafından tanıtıldığı ileri sürülür.
Altın oran, (Fi) sayısı olarak bilinir. Bu sayı, Eski Yunan düşünürleri tarafından bulunmuştur, ancak Fi sayısını kimin tanımladığı kesin olarak belli değildir. Eski Yunan düşünürlerinin bazılarının, Fi sayısının yerine (to) sayısını kullandıkları da bilinmektedir.
İ.Ö. 500’lü yıllarda yaşamış olan tüm zamanların en büyük matematikçilerinden biri olan Pisagor , altın oranla ilgili aşağıdaki düşüncelerini dile getirmiştir:
Bir insanın tüm vücudu ile göbeğine kadar olan yüksekliğinin oranı, bir pentagramın uzun ve kısa kenarlarının oranı, bir dikdörtgenin uzun ve kısa kenarlarının oranı, hepsi aynıdır. Bunun sebebi nedir? Çünkü tüm parçanın büyük parçaya oranı, büyük parçanın küçük parçaya oranına eşittir.
Altın oran, günlük yaşantımızda, matematiğin estetik güzelliğe etki ettiği her alanda karşımıza çıkan bir kavramdır. Altın oranın çok çeşitli tanımları verilebilir ama altın oran, neticede matematiksel bir kavramdır ve değeri de 1,618033.... olarak devam eden ondalık bir sayıdır. Altın oranın matematiksel anlamına geçmeden önce altın oranın karşımıza çıktığı bazı alanlara değinelim.
Altın oran, örneğin bir dikdörtgenin göze en estetik gözükmesi için uzun kenarı ile kısa kenarı arasındaki orandır. Buna benzer olarak, bir doğru parçasının ikiye ayrıldığında göze en hoş gelen ikiye ayrılma oranıdır. Altın oran, sadece dikdörtgen ve doğru için değil, neredeyse tüm geometrik cisimler ve yapılar için kullanılabilir.
Altın oranın matematiksel açıdan basit bir tanımı şu şekilde yapılabilir:
Altın oran, 1 sayısına eklendiğinde kendi karesine eşit olan iki sayıdan biridir. Altın oran 1,618033.... olarak devam eden ondalık sayıdır. 1 sayısına eklendiğinde kendi karesine eşit olan diğer sayı da - 0,618033... olarak devam eden ondalık sayıdır.
Altın Oranın Görüldüğü Ve Kullanıldığı Yerler:
1) Ayçiçeği:
Ayçiçeği'nin merkezinden dışarıya doğru sağdan sola ve soldan sağa doğru tane sayılarının birbirine oranı altın oranı verir.
2) Papatya Çiçeği: Papatya Çiçeğinde de ayçiçeğinde olduğu gibi bir altın oran mevcuttur.
3) İnsan Kafası: Bildiğiniz gibi her insanın kafasında bir ya da birden fazla saçların çıktığı düğüm noktası denilen bir nokta vardır. İşte bu noktadan çıkan saçlar doğrusal yani dik değil, bir spiral, bir eğri yaparak çıkmaktadır. İşte bu spiralin ya da eğrinin tanjantı yani eğrilik açısı bize altın oranı verecektir.
4) İnsan Vücudu: İnsan Vücudunda Altın Oran'ın nerelerde görüldüğüne bakalım:
a) Kollar: İnsan vücudunun bir parçası olan kolları dirsek iki bölüme ayırır.(Büyük(üst) bölüm ve küçük(alt) bölüm olarak). Kolumuzun üst bölümünün alt bölüme oranı altın oranı vereceği gibi, kolumuzun tamamının üst bölüme oranı yine altın oranı verir.
b) Parmaklar: Ellerimizdeki parmaklarla altın oranın ne alakası var diyebilirsiniz. İşte size alaka... Parmaklarınızın üst boğumunun alt boğuma oranı altın oranı vereceği gibi, parmağınızın tamamının üst boğuma oranı yine altın oranı verir.
5) Tavşan: İnsan kafasında olduğu gibi tavşanda da aynı özellik vardır.
6) Mısır Piramitleri: İşte size Altın Oran'ın en eski örneklerinden biri... Şimdi ne alaka Altın Oran ve Milattan Önce yapılan Mısır Piramitleri? Alaka şu; Her bir piramidin tabanının yüksekliğine oranı evet yine altın oranı veriyor.
7) Leonardo da Vinci: Bilindiği gibi Leonardo da Vinci Rönesans devri ünlü ressamlarındandır. Şimdi bu ünlü ressamın çizmiş olduğu tabloları inceleyelim.
a) Mona Lisa: Mona Lisa'nın başının etrafına bir dikdörtgen çizdiğinizde ortaya çıkan dört kenar bir altın dikdörtgendir. Bu dikdörtgeni, göz hizasında çizeceğiniz bir çizgiyle ikiye ayırdığınızda yine bir altın oran elde edersiniz. Resmin boyutları da altın oran oluşturmaktadır.
b) Aziz Jerome: Yine tablonun boyunun enine oranı bize altın oranı verir.
8) Picasso: Picasso da Leonardo da Vinci gibi ünlü bir ressamdır. Ve resimlerinde bu oranı kullanmıştır.
9) Çam Kozalağı: Çam kozalağındaki taneler kozalağın altındaki sabit bir noktadan kozalağın tepesindeki başka bir sabit noktaya doğru spiraller (eğriler) oluşturarak çıkarlar. İşte bu eğrinin eğrilik açısı altın orandır.
10) Deniz Kabuğu: Denize çoğumuz gitmişizdir. Deniz kabuklarına dikkat edenimiz, belki de koleksiyon yapanımız vardır. İşte deniz kabuğunun yapısı incelendiğinde bir eğrilik tespit edilmiş ve bu eğriliğin tanjantının altın oran olduğu görülmüştür.
11) Tütün Bitkisi: Tütün Bitkisinin yapraklarının dizilişinde bir eğrilik söz konusudur. Bu eğriliğin tanjantı altın orandır.
12) Eğrelti Otu: Tütün Bitkisindeki aynı özellik Eğrelti Otu'nda da vardır.
13) Salyangoz: Salyangozun Kabuğu bir düzleme aktarılırsa, bu düzlem bir dikdörtgen oluşturur. İşte bu dikdörtgenin boyunun enine oranı yine altın oranı verir. 15)Mimar Sinan:Mimar Sinan'ın da bir çok eserinde bu altın oran görülmektedir. Mesela Süleymaniye ve Selimiye Camileri'nin minarelerinde bu oran görülmektedir.

Sıfır Sayısı

Sıfır sayısının birbirinden bağımsız olarak hem Hindistan’da hem de Maya’lar tarafından icat edildiği sanılıyor. Hindistan’da kullandığımıza benzeyen bir kesirli sistem kullanılmaktaydı, ancak İ.Ö. 3. yüzyıla kadar sıfır yerine boşluk bırakıyorlardı. Boşluk, sayıları ayırmak için de kullanıldığından oldukça akıl karıştırıcıydı, dolayısıyla sıfır yerine nokta koymaya başladılar.
Bizim bildiğimiz sıfırın sıfır olarak kullanılmaya başlaması ise İ.S. 7. yüzyıla rastlar. Mayaların İ.S. 3. yüzyılda takvimleri için sıfırı icat etmişler.Sıfırın Avrupa uygarlığına gelmesi Araplar tarafından İ.S. 800’lü yıllarda olmuştur. Yunanlı ve Romalılar sıfır kullanmıyorlardı çünkü hesaplamalarını abaküs üzerinde yapıyorlardı. Sıfır sözcüğü, Arapça “sifr” den gelmektedir.

Kaynak: http://www.biltek.tubitak.gov.tr/merak_ettikleriniz/index.php?


Sıfır Rakamının Kronolojik Gelişimi
M.Ö. 3000 yılları : Eski Mısırlılar, onluk sistemi bilmediklerinden, sıfır anlamını ifade eden bir sembol (işaret) kullanmamışlardır.
M.Ö. 700-500 yılları : Mezopotamyalılar, sadece astronomi metinlerinde, sıfır anlamına gelecek, özel bir işareti sürekli olarak kullanmışlardır.
M.S. 2. yüzyıl : Eski Yunan'da, Batlamyos'un astronomi metinlerinde, Yunan alfabesinde görülen, içi boş anlamını ifade eden "0" şeklinde bir harf kullanmışlardır. Ancak, matematiklerinde, bu harfi (işareti) kullanmadıklarını, kaynaklar açık olarak belirtmektedir.
M.S. 400 yılları : Eski Hint Dünyasında, ilk defa, bugünkü ifadeyle sıfır anlamına gelen, "0" ve "." şeklinde işaret (sembol) görülmeye başlamıştır.
M.S. 632 : Eski Hint alimi Brahmagupta'nın astronomi ile ilgili olan Siddhanta adlı eserinde, dokuz ayrı ve sıfır rakamı ile hesap yapmayı gösteren kaideler belirtilmiştir.
M.S. 830 : İslam Dünyasının önde gelen matematik alimi Harezmi tarafından, dokuz ayrı rakam dahil sıfır rakamı ile birlikte aritmetik işlemlerin nasıl yapılacağı açık olarak gösterilmiştir.
M.S. 1100 yılları : Avrupa matematik dünyasında, yaygın olarak kullanılmaya başlar.

Sıfır neden çifttir?
Bu soruya cevap vermeden önce tek ve çift sayı kavramı üzerinde durmamız gerekiyor. Matematikte kavramlar söz konusu olduğunda tahmin edebileceğinizden daha fazla farklı fikirle karşılaşırsınız. Ancak bu tek ve çift sayı konusunda matematikçilerin büyük bir kesiminin ortak bir kararı olduğunu görebiliriz.
Tanım şu şekilde yapılmıştır: İki ile bölündüğünde sıfır kalanını veren sayılara çift sayılar, bir kalanını veren sayılara da tek sayılar denir. Bu tanıma göre iki ile bölündüğünde sıfır kalanını veren sıfır sayısı bir çift sayıdır.

Pi Sayısı

Pi sayısı, , bir dairenin çevresinin çapına bölümü ile elde edilen sayıdır. Bu oran her daire için aynı değeri aldığından, π sayısı bir matematiksel sabittir.
Sabit ismini Yunan π harfinden alır. Zira π harfi Yunanca περίμετρον yani "çevre" sözcüğünün ilk harfidir. Yunan π harfinin adı pi'dir ve Yunan harfini yazmanın mümkün olmadığı veya sorunlu olduğu durumlarda harfin yerine kullanılır. Ayrıca pi sayısı Arşimet sabiti (Arşimet sayısı değil) ve Ludolph sayısı olarak da anılır.
Babilliler'den beri ortadoğu ve akdeniz uygarlıklarının π sayısının varlığından haberdar oldukları bilinmektedir. Farklı antik uygarlıklar pi sayısı için farklı sayıları kullanmıştır. Örneğin MÖ 2000 yılı dolaylarında Babilliler π = 3 1/8, Antik Mısırlılar ise π = 256/81 yani yaklaşık 3,1605'i kullanmaktaydı. Yine de çok uzunca bir süre π'nin bir irrasyonel sayı olup olmadığı anlaşılamamıştır. 1761 yılında Johann Heinrich Lambert'in yayımladığı ispatla sabitin irrasyonel bir sayı olduğu kanıtlanmıştır.
Günlük kullanımda basitçe 3,1416 olarak ifade edilmesine rağmen gerçek değerini ifade etmek için periyodik olarak tekrar etmeyen sonsuz sayıda basamağa ihtiyaç vardır. İlk 65 basamağa kadar ondalık açılımı şöyledir:
3, 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 5923 Pi sayısı irrasyonel olmanın ötesinde ayrıca bir aşkın sayıdır da. Ferdinand von Lindemann tarafından 1882 senesinde ispatlanan bu gerçek, Pi'nin katsayıları tam sayı olan bir polinomun kökü olamayacağını ifade eder
Pi, kültürel açıdan matematiksel sabitler içersinde en çok etki yaratanıdır. Bunu en basit nedenleri çok eskiden beri bilinmesi, çember gibi çok yaygın bir geometrik cisimle ilgili olmasi ise de bir başka nedeni de görünüşe göre bir kural izlemeyen ondalık açılımının insan aklını zorlayan kavranışıdır. Her ne kadar matematiksel açıdan π çok az bir gizem içerse de popüler kültürde bunun aksini işleyen eserler bolca mevcuttur. Ayrıca Eski Ahit'in bir bölümünde Pi sayısının değerinin 3 olduğu ima edildiğinden, kökten dinci hristiyanlar arasında π'nin değerinin okullarda 3 olarak öğretilmesini savunanlar da vardır.
Pi sayısının ilk 1000 basamağı;
3,14159265358979323846264338327950288419716939937510 58209749445923078164062862089986280348253421170679 82148086513282306647093844609550582231725359408128 48111745028410270193852110555964462294895493038196 44288109756659334461284756482337867831652712019091 45648566923460348610454326648213393607260249141273 72458700660631558817488152092096282925409171536436 78925903600113305305488204665213841469519415116094 33057270365759591953092186117381932611793105118548 07446237996274956735188575272489122793818301194912 98336733624406566430860213949463952247371907021798 60943702770539217176293176752384674818467669405132 00056812714526356082778577134275778960917363717872 14684409012249534301465495853710507922796892589235 42019956112129021960864034418159813629774771309960 51870721134999999837297804995105973173281609631859 50244594553469083026425223082533446850352619311881 71010003137838752886587533208381420617177669147303 59825349042875546873115956286388235378759375195778 18577805321712268066130019278766111959092164201989

Google Gruplar
Matematiketkinliklerim grubuna kayıt ol
E-posta:
Bu grubu ziyaret et